MPPC在脉冲信号下的非线性解析
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MPPC工作在盖革模式下，输出只有两种状态：有光子击中并触发雪崩则导通，无光子击中（也无暗噪声等）触发雪崩则不导通。
理想情况下，一个光子进入一个像素，产生一个等效光子信号，两个光子进入两个像素产生两个等效光子信号，以此类推。
实际情况下，两个光子同时进入同一个像素并触发雪崩，此时这两个光子也只产生一个等效光子信号，导致了饱和。输出波形如图：
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这种饱和不同于PMT的饱和，PMT的饱和是因为空间电荷效应导致电子不能继续被加速，一旦PMT饱和，我们无法得知击中光阴极的光子数。而SiPM的饱和可以用简单的数学模型来描述，这样就可以从SiPM的输出去反推击中SiPM的光子数。
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基于同时入射情况，如光源为窄脉冲光，同时入射光子的动态范围由像素数（正相关）和MPPC的光子探测效率（负相关）决定。
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在上面的公式中涉及到如下：
① N_ fired指的是MPPC实际发生雪崩的像素数量，输出信号幅度和N_fired成正比；
② N_total指的是MPPC的总的像素数量，如S13360-3050CS的像素数量3600个；
③ N_photon指的是入射到MPPC表面的光子数；
④ PDE指的是光子探测效率，但一般不会去降低PDE来提高MPPC的动态范围。
实际套用这个公式时，就需要理解它的使用场合，这里补充些它的假设和推导过程：我们假设光源为窄脉冲光，那么光子将同时到达MPPC的表面。再次假设光源距离MPPC较远，那么光子将均匀的打在MPPC的任何一个像素上。以上假设后，类似于往N个盒子里随机放m个小球，结果有n个盒子里有小球的数学模型是一样的。
对于任意一个小球随机放入N个盒子中，落入每个盒子内的概率为p=1/N，对于m个小球放入N个盒子，则是典型的二项式分布，1个盒子内有k小球的概率是：
那么这样的盒子总共就有Np(k;m, p)个，而有小球的盒子（k>0）的个数则是：
对应到MPPC的情况，就是：
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对于S13360-3050CS，N_total为3600，光源波长450 nm，PDE为40%。带入公式，看MPPC实际发生雪崩的像素数与入射光子数的关系：
以下是非线性度随入射光子数的关系：
当入射光子数达到2000时，非线性度有10%。因此在测试较大的脉冲光强时，需考虑对输出信号进行修正。
此外，选择更小尺寸的像素，相同面积下的像素数量更多，非线性效应将减弱，如对于S13360-3025CS，通过重复相同的计算和绘图，我们发现10%的非线性点在大约12000光子。
然而，并不是像素越小越好，小像素尺寸会牺牲一定的PDE和增益性能。
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MPPC的非线性可以通过简单的数学模型进行修正，选择更小像素的MPPC，可以有效降低MPPC的非线性程度。
然而，并不是像素越小越好，小像素尺寸会牺牲一定的PDE和增益性能，实际选型过程中，需权衡其他性能。
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